miércoles, 6 de febrero de 2013

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL CUBO

    Aqui está la solución del problema expuesto en la anterior entrada, por lo que si quieren intentar resolverlo, no lean esta entrada.

Este problema consta de 2 partes, una en la que hay que pensar en un sistema espacial, y otra en la que hay que pensar en un sistema espacio-temporal.
Habría que pensar en las combinaciones no como paralelepípedos y cubos, sino como planos espacio-temporales en los que están contenidos dichas figuras
Primera parte: sistema espacial.
Para simplificarlo, pensemos en un tablero de ajedrez, que es el problema a partir del cual inventé este que estáis viendo; es un cuadrado de 8x8, que tiene dos direcciones principales, “x” e “y”, vamos a introducir un cuadrado de 2x3 y lo vamos  a ir moviendo.
Primero a través del eje “x”

Ahora a lo largo del eje “y”


Es decir, que nuestro rectángulo se ha movido a lo largo del eje x una distancia de 7 cuadrados, y de 6 cuadrados para el eje y. Por tanto, este rectángulo podrá ocupar 7x6=42 posiciones distintas en el tablero de ajedrez.
Teniendo en cuenta que los rectángulos que podemos colocar varían entre 1 y 8 cuadrados a lo largo de ambos ejes, la expresión para calcular la cantidad de cuadrados y rectángulos que pueden ocupar las distintas posiciones de nuestro cuadrado será.

Podemos ver que 1+2+…+8; podemos sumarlos así; 1+8=9, 2+7=9, y hacer 4 grupos de 9, lo cual da un total de 4x9=36, como hay 2 ejes, 36*36.

Sin embargo, el problema era con un cubo tetradimensional, por lo tanto, el número de cubos y paralelepípedos que podremos meter será.
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Por último, ya solo nos falta la cuarta dimensión.
Segunda parte: sistema espacio-temporal
Ahora que ya tenemos el número de cubos y paralelepípedos que podemos meter en las distintas zonas de un cubo de 8x8x8, falta por saber los distintos órdenes en que han podido colocarse a través del tiempo.
Para simplificar la tarea, (ver la imagen adjunta) vamos a imaginarnos un cuadrado de 1x1.
Solamente hay una combinación posible en el sistema espacio-temporal.
Con 2 posiciones distintas tendremos 4 combinaciones distintas
Con un rectángulo de 1x2, tenemos 2 cuadrados  y 1 rectángulo, es decir, 3 posiciones distintas, que nos dan un total de 15 combinaciones.
Con 4 posiciones obtenemos 64 combinaciones.
Y así podría seguir, pero paso, que trabaje Rita.


Si os fijáis bien, podéis ver como los sistemas más simples están englobados en los más complejos, lo cual nos permite escribir las sucesiones numéricas de la siguiente forma.
Y representándolo en una tabla, podríamos llegar a la solución final.


La razón de sumar 1 es porque se añade una nueva posición, la razón de sumarlo al total del número anterior es porque cada sistema comprende el anterior, y la razón de multiplicar esa suma por el número de posiciones, es porque hay ese número de grupos con la misma suma.
Sin embargo, aunque esta es una expresión con la que podemos sacar la solución a nuestro problema, es demasiado incómoda, por lo que conviene expresarlo de una forma más sencilla.
Si nos fijamos atentamente, podemos ver  que también podemos escribir las siguientes expresiones de la siguiente manera


De esta forma, la expresión general (arriba)  es:
Y la solución a nuestro caso particular (abajo) es:


Eso es todo, si lo generalizásemos y aplicásemos a la vida, así, con la adecuada combinación de planos espaciales y espacio-temporales, podríamos viajar a través del espacio y del “tiempo”, aunque eso ya es algo que se escapa de la realidad.

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